my-chat
PI’s day ค่าพายนี่สำคัญอย่างไรนะ
Nice to know
profile
พี่เซียนจ๋อ
2022-03-14

สวัสดีครับน้อง ๆ สำหรับวันนี้เป็นวันสำคัญของตัวเลขหนึ่งทางคณิตศาสตร์ ซึ่งนั่นก็คือค่าพายนั่นเองครับ ในทุกวันนี้เราอาจจะรู้แค่ว่า พาย นั้นมีค่าประมาณ 3.14 แต่วันนี้พี่จ๋อจะพามารู้จักกับค่าพายกันว่า มันมาจากไหน และตอนนี้เราหาค่าพายได้เยอะแค่ไหนแล้ว มาดูกันเลยครับ

ค่าพายคืออะไร??

ค่าพาย เป็นค่าที่สำคัญมาก ๆ ทางคณิตศาสตร์ค่าหนึ่ง โดยค่าพายนั้นเริ่มต้นจากวงกลมและมีวิธีหาดังนี้ Circle ซึ่งไม่ว่าวงกลมนั้นจะใหญ่เท่าใด อัตราส่วนของเส้นรอบวงต่อเส้นผ่านศูนย์กลางจะมีค่าเท่าเดิมเสมอ นั่นคือ พาย หรือ ประมาณ 3.41592.. เสมอ ซึ่งเราจะทำได้เพียงแค่ประมาณค่าพายออกมาเท่านั้น แต่เขียนค่าจริงของมันออกมาไม่ได้ นั่นเพราะว่าค่าพาย เป็นจำนวนอตรรกยะครับ

เราหาค่าพายได้แม่นยำแค่ไหนแล้ว

สมัยก่อน ในการค่าพายก็จะวัดความยาวเส้นรอบวงของวงกลม แล้วนำมาหารด้วยเส้นผ่านศูนย์กลางเลย และเนื่องจากสมัยนั้น ความแม่นยำของเครื่องมือยังไม่สูงมากทำให้เราประมาณค่าพายได้แค่ 3 กว่า ๆ เท่านั้น แต่เมื่อเรารู้จักกับ “อนุกรมเทย์เลอร์” เราจะสามารถประมาณค่าพายได้ด้วยอนุกรมอนันต์เหล่านี้ eqn1 ซึ่งแม้เราจะมีวิธีหาค่าพายแบบนี้แล้ว แต่ในการคำนวณโดยใช้คอมพิวเตอร์นั้น วิธีนี้ต้องค่าลงไปหลายพจน์มาก ๆ จึงจะได้ค่าที่เริ่มใกล้เคียงกับค่าพายจริง ๆ ดังนั้นสิ่งที่เราจะทำคือลองหาอนุกรมอื่น ๆ ที่ได้ค่าพายออกมาเร็วขึ้นออกมาครับ และในที่สุด ปี 1910 นักคณิตศาสตร์ชื่อรามานุจันได้คิดค้นวิธีการหาค่าพายด้วยอนุกรมของเขา ซึ่งวิธีการนี้ เราจะได้ค่าที่ลู่เข้าสู่ค่าพายได้เร็วที่สุด ณ ช่วงเวลานั้นเลยก็ว่าได้ครับ eqn2 แต่แล้วในปี 1989 พี่น้อง Chudnovsky ก็นำอนุกรมของรามานุจันนี่แหละ มาพัฒนาจนได้เป็นอนุกรมที่หาค่าพายได้เร็วกว่า เดิมและนับได้ว่าเร็วที่สุดในปัจจุบันเลยครับ eqn3

แม่นยำแค่ไหนพอ แม้ว่าเราจะมีวิธีหาค่าพายที่ดีแค่ไหนแต่หากเราคำนวณไม่ได้ก็ไม่มีประโยชน์ครับ โชคดีที่เรามีคอมพิวเตอร์ที่ช่วยคิดเลขยาก ๆ ให้ออกมาอย่างรวดเร็ว ซึ่งทำให้ล่าสุดนั้นเราสามารถคำนวณทศนิยมของค่าพายออกมาได้ละเอียดถึง 62.8 ล้านล้าน หลักแล้วครับ แต่อย่างที่บอกไปว่าค่าพายเป็นจำนวนอตรรกยะซึ่งมีทศนิยมไม่สิ้นสุด ดังนั้นเราจะมาดูกันว่าจริง ๆ แล้วเราต้องหาค่าพายละเอียดเท่าใดจึงจะพอ ถ้าเรามองจักรวาลของเราเป็นทรงกลมใหญ่ ๆ ลูกหนึ่ง เราก็จะมีทรงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางขนาด 93 พันล้านปีแสง หรือ 8.8 x 1026 เมตร ครับ ซึ่งถ้าเราลองนำค่าพายมาคิดเส้นรอบวงของจักรวาลนี้ จากการคำนวณใช้ค่าพายที่ละเอียดแค่ทศนิยมหลักที่ 152 ก็จะให้คำตอบคลาดเคลื่อนน้อยกว่า “ความยาวพลังค์” (ความยาวที่น้อยที่สุดที่วัดได้ ประมาณ 1.6162 x 10-35 เมตร) แล้วครับ Tip แม้ค่าพายแค่ 152 หลักทศนิยม ก็ละเอียดเพียงพอแล้ว แต่นักคณิตศาสตร์ทั่วโลกก็ยังคงแข่งกันหาค่าพายให้ละเอียดขึ้นไปอีก ส่วนหนึ่งก็เพื่อแสดงศักยภาพของคอมพิวเตอร์รุ่นใหม่ที่เกิดขึ้นมานั่นเองครับ

https://www.wired.com/2016/03/six-things-probably-didnt-know-pi/

https://www.theguardian.com/science/2021/aug/17/new-mathematical-record-whats-the-point-of-calculating-pi

https://en.wikipedia.org/wiki/Approximations_of_%CF%80